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Construções geométricas é um ramo da Matemática muito importante para o desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo e possui muitas aplicações em desenhos técnicos e mecânicos de máquinas, por exemplo.

Já fiz algumas construções de polígonos utilizando régua e compasso, mas neste post vamos nos concentrar em um problema clássico que é o de traças tangentes a algumas curvas. Fiz uma divisão deste estudo e nesta primeira parte vamos simplesmente nos abster ao traçado propriamente dito das tangentes à circunferências. Além disso, usaremos os teoremas da Geometria plana para justificar as construções.

- Continua abaixo -

1) Traçar uma tangente por um ponto dado sobre a circunferência.

Sejam λ uma circunferência de centro O e P pertencente a λ:

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[Figura 1]

Prolongando o raio OP e com centro em P e abertura do compasso menor que o raio OP, determinemos os pontos A e B:

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[Figura 2]

Determinemos, agora, a mediatriz entre os pontos A e B encontrando o ponto Q. A reta que passa por P e Q é a reta tangente pedida:

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[Figura 3]

Justificativa: A tangente traçada pelo ponto P é uma reta perpendicular ao raio OP. Sendo r a mediatriz de AB, segue o resultado obtido.

2) De um ponto dado fora de uma circunferência, traçar tangentes a esta circunferência.

Sejam λ uma circunferência de centro O e raio qualquer e P um ponto não pertencente à λ:

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[Figura 4]

Unindo O e P e tomando a mediatriz de OP, que passa pelos pontos A e B, determinamos C na intersecção com OP:

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[Figura 5]

Com centro em C e raio OC, traçamos a circunferência κ que intercepta λ nos pontos D e E:

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[Figura 6]

As retas que passam por PD e PE são as tangentes pedidas.

Justificativa: As retas tangentes a uma circunferência traçadas de um ponto externo possuem a propriedade de serem perpendiculares ao raio pelos pontos de tangência. Por construção OP é o diâmetro da circunferência κ e o triângulo ODP é retângulo em D, pois está inscrito na semicircunferência OAP.

Outra propriedade é que os segmentos das tangentes a uma circunferência conduzidas por um mesmo ponto são congruentes:

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3) Traçar as tangentes comuns, exteriores, a duas circunferências.

Sejam duas circunferências λ1 e λ2 de centros O1 e O2, cujos raios r1 e r2 são tais que r1 + r2 < d (O1, O2), ou seja, as circunferências são disjuntas. Suponha também que r1 < r2:

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[Figura 7]

Ligando os centros O1 e O2, determinamos a mediatriz que intercepta O1O2 em C.

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[Figura 8]

Descrevemos a circunferência λ3 de centro O1 e raio r3 = r1 – r2:

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[Figura 9]

Observação: Para determinarmos o raio r3, com abertura do compasso igual ao raio de λ1 , descrevemos uma circunferência de raio PQ com centro em P. Em seguida, com abertura do compasso igual ao raio de λ2, descrevemos outra circunferência de raio QR centrada em Q. A distância PR é o raio da circunferência λ3:

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[Figura 10]

Com centro em C e raio O1C descrevemos uma circunferência que intercepta λ3 nos pontos A e B:

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[Figura 11]

Unimos os pontos O2 e A e os pontos O2 e B. Observe que O2A e O2B são tangentes externas a λ3 traçadas de O2. Prolongamos O1A até o ponto D pertencente a λ1 e também O2B até o ponto E pertencente a λ1. Traçamos em seguida por D um segmento paralelo a AO2 que intercepta λ2 no ponto F. Analogamente EG é paralelo a BO2.

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[Figura 12]

Agradecimentos: Agradeço ao Professor Paulo do Blog Fatos Matemáticos pela disponibilização deste material.

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