Relações Métricas no Triângulo Retângulo

As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º).

Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados abaixo:

Elementos de um triângulo retângulo

Sendo:

a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º)
b: cateto
c: cateto
h: altura relativa à hipotenusa
m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa
n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa

Semelhança e relações métricas

Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos semelhantes ABC, HBA e HAC, representados nas imagens:

Semelhança de triângulos

Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes (), temos as seguintes proporções:

Usando que encontramos a proporção:

Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC encontramos a proporção:

Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual a hipotenusa, ou seja:

Teorema de Pitágoras

A mais importante das relações métricas é o Teorema de Pitágoras. Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relações encontradas anteriormente.

Vamos somar a relação b² = a . n com c² = a . m, conforme mostrado abaixo:

Como a = m + n, substituindo na expressão anterior, temos:

Assim, o Teorema de Pitágoras pode ser enunciado como:

A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.

Exemplos

1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo:

Exemplo relações métricas

Primeiro calcularemos o valor da hipotenusa, que na figura está representado por y.
Usando a relação: a = m + n
y = 9 + 3
y = 12

Para encontrar o valor de x, usaremos a relação b²= a.n, assim:
x² = 12 . 3 = 36

2) A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo.

Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção usando a relação: h² = m . n

Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação a = m + n
a = 16 + 9 = 25
Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as relações b²= a . n e c² = a . m

Fórmulas

Na tabela abaixo, reunimos as relações métricas no triângulo retângulo.

Tabela Relações Métricas