NÚMEROS NATURAIS

Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto é representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … }

– Quando for representar o Conjunto dos Naturais não nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N.
Representado assim:
N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, … }

A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … }

Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número.
• 6 é o sucessor de 5.
• 7 é o sucessor de 6.
• 19 é antecessor de 20.
• 47 é o antecessor de 48.
Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.

Quando um conjunto é finito?
O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, …}
Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}
Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos.
• O conjunto dos alunos da classe.
• O conjunto dos professores da escola.
• O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.

NÚMEROS INTEIROS

Os números inteiros positivos foram os primeiros números trabalhados pela humanidade e eram utilizados para contagem.

O conjunto dos números inteiros não negativos recebe o nome de conjunto dos números naturais, sendo ele:

={0,1,2,3,4,5,6…}

O conjunto dos números inteiros contempla também os inteiros negativos:

={…,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8…}

Os números inteiros estão presentes até hoje em diversas situações do cotidiano da humanidade, como para medir temperaturas, contar dinheiro, marcar as horas etc. Sua importância é indiscutível.

Diante disso, buscaremos estudar todas as propriedades desse conjunto numérico que existe há tanto tempo, perpassando pela teoria de conjuntos, intersecção de conjuntos numéricos, entre outros conceitos que fazem parte desse conteúdo.

NÚMEROS RACIONAIS

Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração.

Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes:
Por exemplo:

♦ Em forma de fração ordinária: ; ; e todos os seus opostos.

Esses números têm a forma com a , b Z e b ≠ 0.

♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita:

Esses números têm a forma com a , b Z e b ≠ 0.

♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicas simples ou compostas:

As dízimas periódicas de expansão infinita podem ser escritas na forma : com a, b Z e b ≠ 0.

– O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.

Q = {x = , com a Z e b Z*}

– Outros subconjuntos de Q:

Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q.

Q^* ———- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero.

Q₊ ———- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero.

Q_– ———– É o conjunto dos números racionais negativos e o zero.

Q^*₊ ———- É o conjunto dos números racionais positivos.

Q^*_– ———– É o conjunto dos números racionais negativos.

– Representação Geométrica

Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais.

NÚMEROS IRRACIONAIS

Todo número decimal é um número irracional? Para as pessoas que têm dúvida quanto a isso, veremos, neste artigo, como definir o conjunto dos números irracionais e observaremos alguns exemplos de números importantes na Matemática que são “constantes irracionais”.

Os números irracionais são aqueles que não podem ser representados por uma fração. O surgimento desses números veio de um antigo problema que Pitágoras se recusava a aceitar, que era o cálculo da diagonal de um quadrado, cujo lado mede uma unidade, diagonal essa que mede √2. Esse número deu início ao estudo de um novo conjunto, representado pelos números irracionais.

Triângulo retângulo cuja hipotenusa mede raiz de dois

Hoje em dia, pensamos: “Nossa, mas encontrar o valor de √2 é tão fácil, basta usar a calculadora”. Entretanto, na época em que começaram esses estudos, o único mecanismo para encontrar os valores das raízes quadradas envolvia os números quadrados (√2²,√3²,√4², …).

Com o estudo contínuo dos elementos da Matemática, os matemáticos depararam-se com a necessidade de calcular o comprimento de uma circunferência. Com cálculos contínuos, notaram que um número se repetia para qualquer que fosse a circunferência, número esse que outrora foi denominado de número pi (π).

Esse número é encontrado pela razão do comprimento pelo diâmetro da circunferência.

π = C, ou ainda π = C
d 2r

Esse é um dos números que foram citados no início do texto: a constante π é de fundamental importância para a área de Geometria e Trigonometria.

Veremos alguns exemplos de números irracionais e notaremos que a sua parte decimal não possui nenhuma estrutura que possa ser fundamentada em forma de fração, assim como ocorre em frações periódicas.

Constantes irracionais ou números transcendentais:

π = 3,1415926535897932384… (Número pi, constante de Arquimedes)

φ = 1,61803398874989… (número áureo ou número de ouro)

e = 2,7182818… (Constante de Euler)

Números irracionais obtidos pela raiz quadrada de um número:

√2 = 1,4142135623730950488016887242097…

√3 = 1,7320508075688772935274463415059…

Esses são os números irracionais, cujo valor da última casa decimal nunca saberemos.

Com isso, podemos falar que números irracionais são aqueles que, em sua forma decimal, são números decimais infinitos e não periódicos. Em outras palavras, são aqueles números que possuem infinitas casas decimais e em nenhuma delas obteremos um período de repetição.

O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I (i maiúscula).