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    Equações diferenciais lineares de ordem N

     

    Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:

    fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +…+ f2(x) y + f1(x)y’ + f0(x)y = k(x)

    onde k(x) e os coeficientes f(x) são funções de x.

    Classificações

    Equação linear homogênea (k(x) = 0),  ou equação linear não-homogênea (k(x) https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/diferente.gif0).

    Equação linear:

    de coeficientes constantes (f0, f1, f2, …, fn constantes)
    de coeficientes variáveis (pelo menos um fi  variável)

     

    Equações diferenciais exatas

    Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então:

    P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0

    é uma equação diferencial exata se e somente se

    Ex: (3x² – 2y³ + 3)dx + (x³ – 6xy² + 2y)dy = 0

    P(x,y) = 3x²y – 2y³ + 3  e  Q(x,y) = x³ – 6xy² + 2y

    https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/m.gif    e   n.gif (640 bytes)

    logo Px = Qx e a equação diferencial é exata.

    Teorema

    A equação diferencial linear de primeira ordem y’ + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante  f.gif (480 bytes) .

    Ex:  g.gif (549 bytes)

    Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²

    Pelo teorema:  https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/h.gif

    Multiplicando todos os termos pelo fator integrante:  i.gif (345 bytes)

    i.gif (345 bytes)   https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/derivada.gif  – 3x² https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/i.gif y = x² i.gif (345 bytes)    ou      i.gif (345 bytes)  =  https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/integral.gif  x² https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/i.gif dx =  um terço.gif (335 bytes)   https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/i.gif  + C

    A multiplicação por  https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/j.gif  dá a solução:

    k.gif (520 bytes)

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