Equações diferenciais lineares de ordem N

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Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:

fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +…+ f2(x) y + f1(x)y’ + f0(x)y = k(x)

onde k(x) e os coeficientes f(x) são funções de x.

Classificações

Equação linear homogênea (k(x) = 0),  ou equação linear não-homogênea (k(x) https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/diferente.gif0).

Equação linear:

de coeficientes constantes (f0, f1, f2, …, fn constantes)
de coeficientes variáveis (pelo menos um fi  variável)

 

Equações diferenciais exatas

Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0

é uma equação diferencial exata se e somente se

Ex: (3x² – 2y³ + 3)dx + (x³ – 6xy² + 2y)dy = 0

P(x,y) = 3x²y – 2y³ + 3  e  Q(x,y) = x³ – 6xy² + 2y

https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/m.gif    e   n.gif (640 bytes)

logo Px = Qx e a equação diferencial é exata.

Teorema

A equação diferencial linear de primeira ordem y’ + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante  f.gif (480 bytes) .

Ex:  g.gif (549 bytes)

Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²

Pelo teorema:  https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/h.gif

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante:  i.gif (345 bytes)

i.gif (345 bytes)   https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/derivada.gif  – 3x² https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/i.gif y = x² i.gif (345 bytes)    ou      i.gif (345 bytes)  =  https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/integral.gif  x² https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/i.gif dx =  um terço.gif (335 bytes)   https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/i.gif  + C

A multiplicação por  https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/j.gif  dá a solução:

k.gif (520 bytes)