Construção Geométrica de Tangentes com Régua e Compasso

Construções geométricas é um ramo da Matemática muito importante para o desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo e possui muitas aplicações em desenhos técnicos e mecânicos de máquinas, por exemplo.

Já fiz algumas construções de polígonos utilizando régua e compasso, mas neste post vamos nos concentrar em um problema clássico que é o de traças tangentes a algumas curvas. Fiz uma divisão deste estudo e nesta primeira parte vamos simplesmente nos abster ao traçado propriamente dito das tangentes à circunferências. Além disso, usaremos os teoremas da Geometria plana para justificar as construções.

1) Traçar uma tangente por um ponto dado sobre a circunferência.

Sejam λ uma circunferência de centro O e P pertencente a λ:

[Figura 1]

Prolongando o raio OP e com centro em P e abertura do compasso menor que o raio OP, determinemos os pontos A e B:

[Figura 2]

Determinemos, agora, a mediatriz entre os pontos A e B encontrando o ponto Q. A reta que passa por P e Q é a reta tangente pedida:

[Figura 3]

Justificativa: A tangente traçada pelo ponto P é uma reta perpendicular ao raio OP. Sendo r a mediatriz de AB, segue o resultado obtido.

2) De um ponto dado fora de uma circunferência, traçar tangentes a esta circunferência.

Sejam λ uma circunferência de centro O e raio qualquer e P um ponto não pertencente à λ:

[Figura 4]

Unindo O e P e tomando a mediatriz de OP, que passa pelos pontos A e B, determinamos C na intersecção com OP:

[Figura 5]

Com centro em C e raio OC, traçamos a circunferência κ que intercepta λ nos pontos D e E:

[Figura 6]

As retas que passam por PD e PE são as tangentes pedidas.

Justificativa: As retas tangentes a uma circunferência traçadas de um ponto externo possuem a propriedade de serem perpendiculares ao raio pelos pontos de tangência. Por construção OP é o diâmetro da circunferência κ e o triângulo ODP é retângulo em D, pois está inscrito na semicircunferência OAP.

Outra propriedade é que os segmentos das tangentes a uma circunferência conduzidas por um mesmo ponto são congruentes:

3) Traçar as tangentes comuns, exteriores, a duas circunferências.

Sejam duas circunferências λ₁ e λ₂ de centros O₁ e O₂, cujos raios r₁ e r₂ são tais que r₁ + r₂ < d (O₁, O₂), ou seja, as circunferências são disjuntas. Suponha também que r₁ < r₂:

[Figura 7]

Ligando os centros O₁ e O₂, determinamos a mediatriz que intercepta O₁O₂ em C.

[Figura 8]

Descrevemos a circunferência λ₃ de centro O₁ e raio r₃ = r₁ – r₂:

[Figura 9]

Observação: Para determinarmos o raio r₃, com abertura do compasso igual ao raio de λ₁ , descrevemos uma circunferência de raio PQ com centro em P. Em seguida, com abertura do compasso igual ao raio de λ₂, descrevemos outra circunferência de raio QR centrada em Q. A distância PR é o raio da circunferência λ₃:

[Figura 10]

Com centro em C e raio O₁C descrevemos uma circunferência que intercepta λ₃ nos pontos A e B:

[Figura 11]

Unimos os pontos O₂ e A e os pontos O₂ e B. Observe que O₂A e O₂B são tangentes externas a λ₃ traçadas de O₂. Prolongamos O₁A até o ponto D pertencente a λ₁ e também O₂B até o ponto E pertencente a λ₁. Traçamos em seguida por D um segmento paralelo a AO₂ que intercepta λ₂ no ponto F. Analogamente EG é paralelo a BO₂.