Paradoxo dos Gêmeos

O paradoxo dos gêmeos é um problema de relatividade geral que intriga aos cientistas e a pessoas comuns pois ele nos obriga a ver o espaço e o tempo de uma forma diferente da qual fomos acostumados a vê-los. Vamos supor que existam dois gêmeos idênticos Paulo e Pedro, e ao completarem 20 anos, Paulo viaja para um planeta X que dista 10 anos-luz da Terra. Inicialmente vamos definir o que é um ano-luz. Diferentemente do que se acha, o ano-luz não é uma unidade de tempo, mas sim uma unidade de espaço, e é equivalente à distância percorrida pela luz no intervalo de tempo de um ano. Desta forma, vemos que para alcançar este planeta, temos que viajar em uma nave espacial à velocidade da luz durante 10 anos. Vamos considerar agora um referencial inercial R em que ambos o planeta Terra e o planeta X estejam em repouso e separados pela distância L0. Temos também os referenciais R’ e R’’, que representam respectivamente o referencial de Paulo durante sua viagem de ida para X e a viagem de volta para a Terra.

Vamos supor que a aceleração de Paulo seja muito grande e ele adquira uma velocidade u próxima à velocidade da luz muito rapidamente e viaje durante dez anos para o planeta X. Ao chegar no planeta X, ele decide rapidamente voltar para a Terra e novamente adquire uma velocidade u agora em direção à Terra. Considerando que u=0,8c, temos . Considerando o referencial de Pedro, Paulo viajou durante 10 anos-luz/0,8c=12,5 anos, e como a viagem de volta também levou 12,5, Pedro estará 25 anos mais velho. No referencial de Paulo, no entanto, o espaço está contraído e o tempo dilatado, logo o tempo de viagem no referencial de Paulo é . Portanto Paulo estará apenas 15 anos mais velho. Temos então uma diferença de 10 anos entre os dois irmãos gêmeos.

O paradoxo aparece quando nos perguntamos: Se considerarmos que Paulo está no referencial em repouso, ele percebe Pedro se movendo à velocidade da luz, então por quê Pedro não está mais jovem? O problema está no entendimento do processo que ocorre durante a aceleração de Paulo na saída da Terra, na chegada em X, na saída de X e na chegada à Terra. Vamos imaginar que um relógio no planeta X esteja sincronizado com o relógio de Pedro. Isto significa que no meio do caminho entre os dois planetas, um observador vê a mesma hora no planeta X e na Terra. No referencial de Paulo no entanto, a assincronia destes relógios é dada por uma diferença igual a L0u/c2. No instante em que Paulo se aproxima do planeta X, ele percebe que o relógio de X está adiantado 10×0,8c/c2=8 anos. No instante em que Paulo para no planeta X para mudar sua direção, ele está no referencial R, onde os relógios estão sincronizados. Neste instante, o relógio de Pedro adiantou 8 anos, dando a impressão a Paulo que seu irmão envelheceu 8 anos. Somando 3/5 7,5 anos, obtemos o envelhecimento total de 12,5 anos.

Considerando os mesmos fatores para a volta, teremos um envelhecimento total de 25 anos. Apesar de este experimento não poder ser realizado devido a impossibilidade de alcançarmos uma velocidade próxima à da luz, partículas cósmicas como os múons (reproduzem este efeito quando apresentam um tempo de vida maior do que o esperado quando se movem em velocidades muito altas. Nestes casos, o tempo de vida da partícula é o mesmo, porém seu tempo e espaço estão deformados, e portanto em nosso referencial, medimos tempos de vida maiores para estas partículas. Efeitos similares são obtidos em grandes aceleradores de partículas em grandes centros de pesquisa.