Descubra o que é função quadrática com um resumo que vai te desvendar todos os conceitos sobre o tema! Prepare-se para o ENEM e vestibulares!
Função quadrática ou função do segundo grau é uma aplicação F de 
→ 
que associa a cada x o elemento (ax² + bx + c) ∈ 
, em que a, b e c são números reais dados e a ≠ 0. Pois se a = 0, não teremos mais uma função quadrática e sim uma função afim: y = bx +c.
Relembrando: O que é função?
Sendo A e B conjuntos não vazios, uma relação F de A → B (lê-se A em B) é denominada aplicação de A – domínio, conjunto de partida – em B – contradomínio, conjunto de chegada –, ou função definida em A com imagens em B se para todo x ∈ A existe um só y ∈ B, tal que (x,y) ∈ F.
Exemplos de funções quadráticas:
- 2x² + 5x + 7, em que a = 2, b = 5 e c = 7.
- -x², em que a = -1 e b = c = 0.
- x² + x + 1, em que a = b = c = 1.
- 6x² + 5, em que a = 6, b = 0 e c = 5.
Gráfico da Função Quadrática
O gráfico da função quadrática é uma parábola (isso será provado em Geometria Analítica):
Concavidade
A parábola representativa da função quadrática pode ter sua concavidade voltada para cima ou para baixo. Isso dependerá do sinal de a:
- Se a > 0, a concavidade será voltada para cima.
- Se a < 0, a concavidade será voltada para baixo.
Forma Canônica
A construção do gráfico da função quadrática através de uma tabela de valores de x e de y nem sempre é precisa, pois pode acontecer que em certa função o valor da abscissa (valor de x) ou da ordenada (valor de y) não seja inteiro.
Para iniciarmos um estudo mais detalhado da função, vamos transformá-la em outra forma mais adequada, chamada forma canônica.
Colocamos a em evidência:
Adicionamos e subtraímos 
:
Colocamos novamente a em evidência:
Portanto, a forma canônica da função quadrática é:
Zeros da Função Quadrática
Os zeros ou raízes da função são os valores de x para os quais 
.
Utilizando a forma canônica temos:
i)
ii) Mas sabemos que 
, então:
Portanto:
Observemos que, para existir raízes reais na equação do segundo grau, precisamos que 
seja real. Logo, temos três casos:
i) 
e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e distintas, que serão: 
.
ii) 
e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e iguais, que serão: 
.
iii) 
e sabemos que, neste caso, 
, portanto, diremos que a equação não apresentará raízes reais.
Interpretando geometricamente, os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x.
Máximo e Mínimo
Sendo 
o conjunto imagem, dizemos que 
é o valor de máximo da função 
se, e somente se, 
para qualquer 
. E então, o número 
, sendo 
o conjunto domínio, é chamado de ponto de máximo da função.
Dizemos que 
é o valor de mínimo da função 
se, e somente se, 
para qualquer 
. E então, o número 
é chamado de ponto de mínimo da função.
Sucintamente, podemos dizer que:
i) Se 
, a função quadrática admite o valor máximo 
.
ii) Se 
, a função quadrática admite o valor mínimo 
.
Vértice da Parábola
O ponto 
é chamado vértice da parábola.
Loading...
Reload document 
Open in new tab 
