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Descubra o que é função quadrática com um resumo que vai te desvendar todos os conceitos sobre o tema! Prepare-se para o ENEM e vestibulares!

Função quadrática ou função do segundo grau é uma aplicação F de  http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb%7bR%7d  →  http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb%7bR%7d  que associa a cada x o elemento (ax² + bx + c) ∈  http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb%7bR%7d , em que a, b e c são números reais dados e a ≠ 0. Pois se a = 0, não teremos mais uma função quadrática e sim uma função afim: y = bx +c.

O que e Funcao Quadratica?

 

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Relembrando: O que é função?

Sendo A e B conjuntos não vazios, uma relação F de A → B (lê-se A em B) é denominada aplicação de A – domínio, conjunto de partida – em B – contradomínio, conjunto de chegada –, ou função definida em A com imagens em B se para todo x ∈ A existe um só y ∈ B, tal que (x,y) ∈ F.

O que e Funcao Quadratica?

 

Exemplos de funções quadráticas:

  • 2x² + 5x + 7, em que a = 2, b = 5 e c = 7.
  • -x², em que a = -1 e b = c = 0.
  • x² + x + 1, em que a = b = c = 1.
  • 6x² + 5, em que a = 6, b = 0 e c = 5.

 

Gráfico da Função Quadrática

O gráfico da função quadrática é uma parábola (isso será provado em Geometria Analítica):

O que e Funcao Quadratica?

Concavidade

A parábola representativa da função quadrática pode ter sua concavidade voltada para cima ou para baixo. Isso dependerá do sinal de a:

  • Se a > 0, a concavidade será voltada para cima.
  • Se a < 0, a concavidade será voltada para baixo.

O que e Funcao Quadratica?

Forma Canônica

A construção do gráfico da função quadrática através de uma tabela de valores de x e de y nem sempre é precisa, pois pode acontecer que em certa função o valor da abscissa (valor de x) ou da ordenada (valor de y) não seja inteiro.

Para iniciarmos um estudo mais detalhado da função, vamos transformá-la em outra forma mais adequada, chamada forma canônica.

  • O que e Funcao Quadratica?   Colocamos a em evidência:
  • O que e Funcao Quadratica?    Adicionamos e subtraímos   O que e Funcao Quadratica? :
  • O que e Funcao Quadratica?   Colocamos novamente a em evidência:

Portanto, a forma canônica da função quadrática é:

O que e Funcao Quadratica?

 

Zeros da Função Quadrática

Os zeros ou raízes da função são os valores de x para os quais  O que e Funcao Quadratica? .
O que e Funcao Quadratica?   Utilizando a forma canônica temos:

i)
O que e Funcao Quadratica?

O que e Funcao Quadratica?

 

ii) Mas sabemos que  http://latex.codecogs.com/gif.latex?a\neq0  , então:

Portanto: 

O que e Funcao Quadratica?

Observemos que, para existir raízes reais na equação do segundo grau, precisamos que  O que e Funcao Quadratica?  seja real. Logo, temos três casos:

i)  O que e Funcao Quadratica?   e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e distintas, que serão:  O que e Funcao Quadratica? .

ii)  O que e Funcao Quadratica?   e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e iguais, que serão:  O que e Funcao Quadratica? .

iii)  O que e Funcao Quadratica?   e sabemos que, neste caso,  O que e Funcao Quadratica?  , portanto, diremos que a equação não apresentará raízes reais.

Interpretando geometricamente, os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x.

 

Máximo e Mínimo

Sendo  O que e Funcao Quadratica?  o conjunto imagem, dizemos que  O que e Funcao Quadratica?  é o valor de máximo da função  O que e Funcao Quadratica?  se, e somente se,  O que e Funcao Quadratica?  para qualquer  O que e Funcao Quadratica? . E então, o número  http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_%7bM%7d\in&space;D(f) , sendo  http://latex.codecogs.com/gif.latex?D(f)   o conjunto domínio, é chamado de ponto de máximo da função.

Dizemos que  http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_%7bM%7d\in&space;Im(f)  é o valor de mínimo da função  http://latex.codecogs.com/gif.latex?y&space;=&space;f(x)  se, e somente se,   http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_%7bM%7d\leqslant&space;y  para qualquer  http://latex.codecogs.com/gif.latex?y\in&space;Im(f) . E então, o número  http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_%7bM%7d\in&space;D(f)  é chamado de ponto de mínimo da função.

Sucintamente, podemos dizer que:

i) Se  http://latex.codecogs.com/gif.latex?a%3C0 , a função quadrática admite o valor máximo  http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_%7bM%7d=-\frac%7b\sqrt\Delta%7d%7b4a%7d,\:&space;para&space;\:&space;x_%7bM%7d=-\frac%7bb%7d%7b2a%7d .

ii) Se  http://latex.codecogs.com/gif.latex?a%3E0  , a função quadrática admite o valor mínimo  http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_%7bM%7d=-\frac%7b\sqrt\Delta%7d%7b4a%7d,\:&space;para&space;\:&space;x_%7bM%7d=-\frac%7bb%7d%7b2a%7d .

 

O que e Funcao Quadratica?

 

Vértice da Parábola

O ponto  O que e Funcao Quadratica?  é chamado vértice da parábola.

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