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Os números complexos formam um conjunto numérico que é mais abrangente que os números reais. Eles surgiram após inúmeros estudos, sobretudo após tentativas de se resolver equações do segundo e do terceiro grau. Nessa época, os matemáticos se depararam raízes quadradas de números negativos, que não podem ser expressas no conjunto dos números reais. Assim, os matemáticos passaram a denotar essas raízes usando a letra “i”. A base principal foi adotar i=−1−−−√.

Definição

Quando vamos solucionar equações do tipo x2+1=0, nos deparamos com x=±−1−−−√. Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, convencionou-se utilizar a notação i2=−1 para representar esse número negativo. Com isso, o resultado da equação anterior seria x=±i. Esse número “i” é conhecido como unidade imaginária.

- Continua abaixo -

Assim, um número complexo, que chamamos de Z, tem a forma

z=a+bi, a,b∈R

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Chamamos o número a de parte real, Re(Z) = a, e b de parte imaginária, Im(Z) = b. Esta notação é chamada de forma algébrica.

Adição de números complexos

A adição de números complexos é realizada através da adição dos termos semelhantes, ou seja, somamos as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di.

Definiremos a adição de z1 e z2 da seguinte forma:

z1+z2=(a+bi)+(c+di)

z1+z2=(a+c)+(b+d)i

Exemplo:

Se z1=3+2i e z2=5−3i a soma será:

z1+z2=(3+5)+(2−3)i

z1+z2=8−i

Subtração de números complexos

A subtração de números complexos é análoga à adição. Calculamos a diferença entre as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias.

Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di.

Definiremos a subtração de z1 e z2 da seguinte forma:

z1−z2=(a+bi)−(c+di)

z1−z2=(a−c)+(b−d)i

Exemplo:

Se z1=7+10i e z2=3+6i a diferença será:

z1−z2=(7−3)+(10−6)i

z1−z2=4−4i

Multiplicação de números complexos

Para multiplicar números complexos utilizamos o mesmo método adotado na expansão de um produto notável, multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator. Assim:

Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di.

Definiremos a multiplicação de z1 e z2 da seguinte forma:

z1⋅z2=(a+bi)⋅(c+di)

z1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)i

Exemplo:

Se z1=2+5i e z2=1+3i o produto será:

z1⋅z2=(2+5i)+(1+3i)

z1⋅z2=2⋅1+2⋅3i+5i⋅1+5i⋅3i

z1⋅z2=2+6i+5i+15i2

z1⋅z2=2+6i+5i+15⋅(−1)

z1⋅z2=2+6i+5i−15

z1⋅z2=(2−15)+(6+5)i

z1⋅z2=−13+11i

Divisão de números complexos

Para dividir números complexos multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O conjugado de um número complexo z1=a+bi será z1=a−bi.

Sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um número real.

Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di

Definiremos a divisão de z1 e z2 da seguinte forma:

z1z2=a+bic+di⋅c−dic−di

z1z2=(a+bi)⋅(c−di)c2−(di)2

z1z2=(ac−bd)+(ad+bc)ic2+d2=ac−bdc2+d2+ad+bcc2+d2i

Exemplo

Se z1=1+2i e z2=2+3i a divisão será:

z1z2=1+2i2+3i⋅2−3i2−3i

z1z2=(1+2i)⋅(2−3i)22−(3i)2

z1z2=8−i4+9=8−i13=813−113i

Argumento e módulo de um número complexo

Podemos representar um número complexo em um sistema de coordenadas. Esse sistema de coordenadas é chamado de Plano de Argand-Gauss. É composto por dois segmentos de reta perpendiculares. O segmento horizontal comporta as partes reais dos números complexos e o segmento vertical, as partes imaginárias. Como exemplo, observe como será representado o número complexo z=a+bi no Plano de Argand-Gauss:

http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2017/05/numeros-complexos1.jpg

O segmento de reta OZ é chamado de módulo do número complexo, representado por |z|. Na figura abaixo, o ângulo entre o eixo Ox e o segmento OZ é chamado de argumento de Z, representado por θ.

http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2017/05/numeros-complexos2.jpg

Argumento de Z

No Triângulo retângulo formado pelos vértices OâZ, temos que:

sen(θ)=b|z|

cos(θ)=a|z|

Sendo θ o argumento de Z.

Para encontrar o argumento de Z, podemos utilizar θ=arcsen(b|z|) ou θ=arcos(a|z|).

Módulo de Z

Aplicando o teorema de Pitágoras teremos:

(|z|)2=a2+b2

Então:

|z|=a2+b2−−−−−−√

Forma trigonométrica de um número complexo

Cada número complexo pode ser expresso em função do seu módulo e argumento. Quando isso acontece dizemos que o número complexo está na forma trigonométrica ou polar.

Considere o número complexo z=a+bi, em que z ≠ 0,

Como vimos anteriormente:

sen(θ)=b|z|⟹b=|z|⋅sen(θ)

cos(θ)=a|z|⟹a=|z|⋅cos(θ)

Substituindo os valores de a e b no complexo z=a+bi.

z=a+bi

z=|z|⋅cos(θ)+|z|⋅sen(θ)i

z=|z|⋅(cos(θ)+i⋅sen(θ))

Produto de números complexos na forma polar

Considere dois números complexos na forma polar:

z1=|z1|⋅(cos(θ1)+i⋅sen(θ1))

z2=|z2|⋅(cos(θ2)+i⋅sen(θ2))

O produto entre será:

z1⋅z2=[|z1|⋅(cos(θ1)+i⋅sen(θ1))]⋅[|z2|⋅(cos(θ2)+i⋅sen(θ2))]

z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)+i⋅sen(θ1))⋅(cos(θ2)+i⋅sen(θ2))

z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)⋅cos(θ2)+cos(θ1)⋅i⋅sen(θ2)+i⋅sen(θ1)⋅cos(θ2)+i⋅sen(θ1)⋅i⋅sen(θ2))

z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)⋅cos(θ2)+i⋅cos(θ1)⋅sen(θ2)+i⋅sen(θ0)⋅cos(θ2)+i2⋅sen(θ1)⋅sen(θ2))

z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)⋅cos(θ2)−sen(θ1)⋅sen(θ2)+i(sen(θ1)⋅cos(θ2)+sen(θ2)⋅cos(θ1)))

z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1+θ2)+i⋅sen(θ1+θ2))

Assim, para multiplicar dois números complexos na forma polar, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.

Exemplo:

Se z1=2(cos(π6)+i⋅sen(π6)) e z2=3(cos(π3)+i⋅sen(π3)):

z1⋅z2=2⋅3(cos(π6+π3)+i⋅sen(π6+π3))

z1⋅z2=6(cos(π2)+i⋅sen(π2))

Potência de um número complexo

Como vimos anteriormente, para multiplicar números complexos, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.

Se multiplicarmos um número complexo Z por ele mesmo n vezes, teremos:

|z|⋅|z|⋅|z|⋅|z|⋅…⋅|z|=(|z|)n

e

θ+θ+θ+…+θ=n⋅θ

Assim, elevando Z a uma potência n, teremos que:

zn=(|z|)n⋅(cos(nθ)+i⋅sen(nθ))

Exemplo:

Calcular z3, sendo z=2(cos(π4)+i⋅sen(π4)).

z3=23(cos(3⋅π4)+i⋅sen(3⋅π4))

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