Os números complexos formam um conjunto numérico que é mais abrangente que os números reais. Eles surgiram após inúmeros estudos, sobretudo após tentativas de se resolver equações do segundo e do terceiro grau. Nessa época, os matemáticos se depararam raízes quadradas de números negativos, que não podem ser expressas no conjunto dos números reais. Assim, os matemáticos passaram a denotar essas raízes usando a letra “i”. A base principal foi adotar i=−1−−−√.
Definição
Quando vamos solucionar equações do tipo x2+1=0, nos deparamos com x=±−1−−−√. Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, convencionou-se utilizar a notação i2=−1 para representar esse número negativo. Com isso, o resultado da equação anterior seria x=±i. Esse número “i” é conhecido como unidade imaginária.
Assim, um número complexo, que chamamos de Z, tem a forma
z=a+bi, a,b∈R
Chamamos o número a de parte real, Re(Z) = a, e b de parte imaginária, Im(Z) = b. Esta notação é chamada de forma algébrica.
Adição de números complexos
A adição de números complexos é realizada através da adição dos termos semelhantes, ou seja, somamos as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di.
Definiremos a adição de z1 e z2 da seguinte forma:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
Exemplo:
Se z1=3+2i e z2=5−3i a soma será:
z1+z2=(3+5)+(2−3)i
z1+z2=8−i
Subtração de números complexos
A subtração de números complexos é análoga à adição. Calculamos a diferença entre as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias.
Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di.
Definiremos a subtração de z1 e z2 da seguinte forma:
z1−z2=(a+bi)−(c+di)
z1−z2=(a−c)+(b−d)i
Exemplo:
Se z1=7+10i e z2=3+6i a diferença será:
z1−z2=(7−3)+(10−6)i
z1−z2=4−4i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicar números complexos utilizamos o mesmo método adotado na expansão de um produto notável, multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator. Assim:
Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di.
Definiremos a multiplicação de z1 e z2 da seguinte forma:
z1⋅z2=(a+bi)⋅(c+di)
z1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)i
Exemplo:
Se z1=2+5i e z2=1+3i o produto será:
z1⋅z2=(2+5i)+(1+3i)
z1⋅z2=2⋅1+2⋅3i+5i⋅1+5i⋅3i
z1⋅z2=2+6i+5i+15i2
z1⋅z2=2+6i+5i+15⋅(−1)
z1⋅z2=2+6i+5i−15
z1⋅z2=(2−15)+(6+5)i
z1⋅z2=−13+11i
Divisão de números complexos
Para dividir números complexos multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O conjugado de um número complexo z1=a+bi será z1=a−bi.
Sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um número real.
Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di
Definiremos a divisão de z1 e z2 da seguinte forma:
z1z2=a+bic+di⋅c−dic−di
z1z2=(a+bi)⋅(c−di)c2−(di)2
z1z2=(ac−bd)+(ad+bc)ic2+d2=ac−bdc2+d2+ad+bcc2+d2i
Exemplo
Se z1=1+2i e z2=2+3i a divisão será:
z1z2=1+2i2+3i⋅2−3i2−3i
z1z2=(1+2i)⋅(2−3i)22−(3i)2
z1z2=8−i4+9=8−i13=813−113i
Argumento e módulo de um número complexo
Podemos representar um número complexo em um sistema de coordenadas. Esse sistema de coordenadas é chamado de Plano de Argand-Gauss. É composto por dois segmentos de reta perpendiculares. O segmento horizontal comporta as partes reais dos números complexos e o segmento vertical, as partes imaginárias. Como exemplo, observe como será representado o número complexo z=a+bi no Plano de Argand-Gauss:
O segmento de reta OZ é chamado de módulo do número complexo, representado por |z|. Na figura abaixo, o ângulo entre o eixo Ox e o segmento OZ é chamado de argumento de Z, representado por θ.
Argumento de Z
No Triângulo retângulo formado pelos vértices OâZ, temos que:
sen(θ)=b|z|
cos(θ)=a|z|
Sendo θ o argumento de Z.
Para encontrar o argumento de Z, podemos utilizar θ=arcsen(b|z|) ou θ=arcos(a|z|).
Módulo de Z
Aplicando o teorema de Pitágoras teremos:
(|z|)2=a2+b2
Então:
|z|=a2+b2−−−−−−√
Forma trigonométrica de um número complexo
Cada número complexo pode ser expresso em função do seu módulo e argumento. Quando isso acontece dizemos que o número complexo está na forma trigonométrica ou polar.
Considere o número complexo z=a+bi, em que z ≠ 0,
Como vimos anteriormente:
sen(θ)=b|z|⟹b=|z|⋅sen(θ)
cos(θ)=a|z|⟹a=|z|⋅cos(θ)
Substituindo os valores de a e b no complexo z=a+bi.
z=a+bi
z=|z|⋅cos(θ)+|z|⋅sen(θ)i
z=|z|⋅(cos(θ)+i⋅sen(θ))
Produto de números complexos na forma polar
Considere dois números complexos na forma polar:
z1=|z1|⋅(cos(θ1)+i⋅sen(θ1))
z2=|z2|⋅(cos(θ2)+i⋅sen(θ2))
O produto entre será:
z1⋅z2=[|z1|⋅(cos(θ1)+i⋅sen(θ1))]⋅[|z2|⋅(cos(θ2)+i⋅sen(θ2))]
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)+i⋅sen(θ1))⋅(cos(θ2)+i⋅sen(θ2))
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)⋅cos(θ2)+cos(θ1)⋅i⋅sen(θ2)+i⋅sen(θ1)⋅cos(θ2)+i⋅sen(θ1)⋅i⋅sen(θ2))
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)⋅cos(θ2)+i⋅cos(θ1)⋅sen(θ2)+i⋅sen(θ0)⋅cos(θ2)+i2⋅sen(θ1)⋅sen(θ2))
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)⋅cos(θ2)−sen(θ1)⋅sen(θ2)+i(sen(θ1)⋅cos(θ2)+sen(θ2)⋅cos(θ1)))
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1+θ2)+i⋅sen(θ1+θ2))
Assim, para multiplicar dois números complexos na forma polar, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.
Exemplo:
Se z1=2(cos(π6)+i⋅sen(π6)) e z2=3(cos(π3)+i⋅sen(π3)):
z1⋅z2=2⋅3(cos(π6+π3)+i⋅sen(π6+π3))
z1⋅z2=6(cos(π2)+i⋅sen(π2))
Potência de um número complexo
Como vimos anteriormente, para multiplicar números complexos, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.
Se multiplicarmos um número complexo Z por ele mesmo n vezes, teremos:
|z|⋅|z|⋅|z|⋅|z|⋅…⋅|z|=(|z|)n
e
θ+θ+θ+…+θ=n⋅θ
Assim, elevando Z a uma potência n, teremos que:
zn=(|z|)n⋅(cos(nθ)+i⋅sen(nθ))
Exemplo:
Calcular z3, sendo z=2(cos(π4)+i⋅sen(π4)).
z3=23(cos(3⋅π4)+i⋅sen(3⋅π4))
Loading...
Reload document 
Open in new tab
