Geometria Plana, Prisma

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Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

  • Prisma reto
    As arestas laterais têm o mesmo comprimento.
    As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base.
    As faces laterais são retangulares.
  • Prisma oblíquo
    As arestas laterais têm o mesmo comprimento.
    As arestas laterais são oblíquas ao plano da base.
    As faces laterais não são retangulares.
prisma06.gif Bases: regiões poligonais congruentes

Altura: distância entre as bases

Arestas laterais paralelas: mesmas medidas

Faces laterais: paralelogramos

prisma07.gif
Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo

Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:

Prisma Base Esboço geométrico
Triangular triângulo b_152_153_16777215_01_images_stories_matematica_prisma03.gif
Quadrangular quadrado https://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/prisma01.gif
Pentagonal pentágono prisma04.gif
Hexagonal hexágono https://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/prisma05.gif

Seções de um prisma

secao.gif

Seção transversal
É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.

Seção reta (seção normal)
É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.

Princípio de Cavaliere
Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.
Prisma regular

É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.

Exemplos:

  • Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero.
  • Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.

Planificação do prisma

prisma09.gif

Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases. As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma “superfície” que pode ser planificada no plano cartesiano.
Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às bases.
A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.

Volume de um prisma

prisma08.gif

O volume de um prisma é dado por:

 

Vprisma = Abase . h

 

Área lateral de um prisma reto com base poligonal regular

A área lateral de um prisma reto que tem por base uma região poligonal regular de n lados é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como neste caso todas as áreas das faces laterais são iguais, basta tomar a área lateral como:

 

Alat = n AFace Lateral

Uma forma alternativa para obter a área lateral de um prisma reto tendo como base um polígono regular de n lados é:

 

Alat = P × h

onde P é o perímetro da base e h é a altura do prisma.

Tronco de prisma
prisma10.gif

Quando seccionamos um prisma por um plano não paralelo aos planos das bases, a região espacial localizada dentro do prisma, acima da base inferior e abaixo do plano seccionante é denominado tronco de prisma. Para calcular o volume do tronco de prisma, multiplicamos a média aritmética das arestas laterais do tronco de prisma pela área da base.