Geometria Analítica, Elipse

Elipse de centro na origem (0,0) do plano cartesiano

1 – Definição:

Dados dois pontos fixos F₁ e F₂ de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c >0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F₁ e F₂ é igual a um valor constante 2a , onde a > c.
Assim é que temos por definição:
PF₁ + PF₂ = 2 a
Os pontos F₁ e F₂ são denominados focos e a distancia F₁F₂ é conhecida com distancia focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse.
Como, por definição, a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.

2 – Equação reduzida da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F₁(c,0) e F₂(-c,0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever:
PF₁ + PF₂ = 2.a

onde o eixo A₁A₂ de medida 2a, é denominado eixo maior da elipse e o eixo B₁B₂ de medida 2b, é denominado eixo menor da elipse.

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c.

Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima e fazendo a² – c² = b² , aexpressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b².x² + a².y² = a².b²
Dividindo agora, ambos os membros por a²b² vem finalmente:

que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).

Notas:
1) como a² – c² = b² , é válido que: a² – b² = c², onde c é a abcissa de um dos focos da elipse.
2) como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez que sendo b = aresulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
3) o ponto (0,0) é o centro da elipse.
4) se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação da elipse de centro na origem (0,0) passa a ser:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS

1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 16x² + 25y² – 400 = 0.

SOLUÇÃO: Temos: 16x² + 25y² = 400. Observe que a equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

Portanto, a² = 25 e b² = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a² = b² + c² , vem substituindo e efetuando, que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resposta: 3/5 ou 0,60.

2 – CESCEA 1969 – Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação
9x² + 25y² = 225.

SOLUÇÃO: dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a²=25 e b²=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.
Portanto, como a² = b² + c², vem que c = 4.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F₁(4,0) e F₂(-4,0).

3 – Determine a distancia focal da elipse 9x² +25y² – 225 =0.

SOLUÇÃO: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia focal ou seja, a distancia entre os focos da elipse será:
D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).

4 – Calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse 25x² + 169y² = 4225.
Resposta: e = 12/13 e d_f = 2c = 24.

5 – Determinar a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P(1,1) e tem um foco F(-Ö 6 /2, 0).
Resposta: x² + 2y² = 3.