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    Funções, Constante, 1º e 2 Grau

     

    Tipos particulares de funções

    FUNÇÃO CONSTANTE

    Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k, onde k não depende de x .
    Exemplos:
    a) f(x) = 5
    b) f(x) = -3

    Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .

    Veja o gráfico a seguir:

    funcoes_12.gif

    FUNÇÃO DO 1º GRAU

    Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ¹ 0 .
    Exemplos :
    f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 )
    f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).

    Propriedades da função do 1º grau :

    1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta .

    funcoes_13.gif funcoes_14.gif

    2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b ¹ 0 f é dita função afim .
    Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se óiler) – excepcionalmatemático suíço – 1701/1783).
    3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de
    abcissa x = – b/a .
    4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .
    5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .
    6) se a > 0 , então f é crescente .
    7) se a < 0 , então f é decrescente .
    8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.

    Exercício resolvido:

    1 – Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

    SOLUÇÃO:
    Podemos escrever:
    5 = 2.a + b
    -10 = 3.a + b

    Subtraindo membro a membro, vem:
    5 – (- 10) = 2.a + b – (3.a + b)
    15 = – a \ a = – 15

    Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
    5 = 2.(- 15) + b \ b = 35.
    Logo, a função procurada é: y = – 15x + 35.

    Agora resolva esta:
    A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é
    igual a:
    *a) 2
    b) -2
    c) 0
    d) 3
    e) -3

    FUNÇÃO DO 2º GRAU

    Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a ¹ 0 .
    Exemplos: f(x) = x2 – 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
    y = – x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )

    Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical .

    funcoes_15.gif funcoes_16.gif

    Propriedades do gráfico de  y = ax2 + bx + c :

    1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .
    2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo
    3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde:
    xv = – b/2a
    yv = – D /4a , onde D = b2 – 4ac
    4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x’ e x” , que são as raízes da
    equação ax2 + bx + c = 0 .
    5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
    6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = – b/2a.
    7) ymax = – D / 4a ( a < 0 )
    8) ymin = – D /4a ( a > 0 )
    9) Im(f) = { y Î R ; y ³ – D /4a } ( a > 0 )
    10) Im(f) = { y Î R ; y £ – D /4a} ( a < 0)
    11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :
    y = a(x – x1).(x – x2)

    Exercícios Resolvidos

    1 – UCSal – Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto
    (-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
    a) o seu valor máximo é 1,25
    b) o seu valor mínimo é 1,25
    c) o seu valor máximo é 0,25
    d) o seu valor mínimo é 12,5
    *e) o seu valor máximo é 12,5.

    SOLUÇÃO:
    Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada:
    y = a(x – x1)(x – x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função.

    Portanto, poderemos escrever:
    y = a[x – (- 2 )](x – 3) = a(x + 2)(x – 3)
    y = a(x + 2)(x – 3)

    Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem:
    8 = a(-1 + 2)(-1 – 3)
    8 = a(1)(-4) = – 4.a
    Daí vem: a = – 2

    A função é, então: y = -2(x + 2)(x – 3) , ou y = (-2x -4)(x – 3)
    y = -2x2 + 6x – 4x + 12
    y = -2x2 + 2x + 12

    Temos então: a = -2 , b = 2 e c = 12.
    Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo.
    Isto já elimina as alternativas B e D.

    Vamos então, calcular o valor máximo da função.
    D = b2 – 4ac = 22 – 4 .(-2).12 = 4+96 = 100
    Portanto, yv = – 100/4(-2) = 100/8 = 12,5
    Logo, a alternativa correta é a letra E.

    2 – Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
    *a) 1/2
    b) 2
    c) 1
    d) 4
    e) -1/2

    SOLUÇÃO:
    Seja x o número procurado.
    O quadrado de x é x2 .
    O número x excede o seu quadrado , logo: x – x2.
    Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x – x2 .

    Podemos escrever:
    y = – x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.
    O valor procurado de x, será o xv (abcissa do vértice da função).

    Assim,
    xv = – b / 2.a = – 1 / 2(-1) = 1 / 2
    Logo, a alternativa correta é a letra A .

    Agora resolva estes similares:

    1 – A diferença entre dois números é 8. Para que o produto seja o menor possível, um deles deve ser:
    a) 16
    b) 8
    *c) 4
    d) -4
    e) -16

    2 – A diferença entre dois números é 8. O menor valor que se pode obter para o produto é:
    a) 16
    b) 8
    c) 4
    d) -4
    *e) -16

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