Função Quadrática

Função Quadrática 

Funções quadráticas completas e incompletas 

As equações completas tem forma ax²+bx+c=0.Há também as incompletas que possuem forma ax2+bx=0 ou ax2+c=0.

Coeficientes

São os números que acompanham as partes literais de uma função quadrática. Os coeficientes são a, b e c sendo que a letra a sempre acompanha o termo x², a letra b acompanha o termo x e a letra c não acompanha termos literais. Tais conceitos são utilizados na resolução da função quadrática.

Concavidade

Se a>0 a parábola representada no gráfico da função tem sua concavidade voltada para cima.

Se a<0 a parábola tem sua concavidade invertida, ou seja, voltada para baixo.

Discriminante : As raízes em relação ao delta ()

O discriminante da função quadrática é representado por delta sendo que, =b²-4ac.Tal fator é essencial ao cálculo das raízes da função.

Raízes

As raízes da função quadrática são os valores de x para os quais se tem f(x)=0.Determinam-se as raízes da função resolvendo-se a função quadrática ax²+bx+c=0. Para que o procedimento seja possível devemos lançar mão da fórmula de Báskara: x = -b/2a onde na maioria das vezes obtemos duas raízes.

As coordenadas do vértice

As coordenadas do vértice V de uma função f(x)=ax²+bx+c , a0 são obtidas da seguinte forma no eixo y (ordenada) temos: ax²+bx+c=y ax²+bx+(c-y)=0.

Existem valores reais de x quando 0, isto é, b²-4ac (c-y) 0

b²-4ac+4ay0 4ay- y-/4a y_v= -/4a .

No eixo x (abcissa) temos :

Na função y=ax2+bx+c vamos substituir y=y_v= -/4a .

Temos y_v=ax²+bx+c ax²+bx+c= -/4a .

Temos =b²-4ac =(4ab)² -4.4a²b² =16a²b²-16a²b² então =0 portanto x_v=-4ab/8a²=-b/2a x_v= -b/2a

Construção de gráficos

A função quadrática é representada graficamente em R X R por uma curva denominada parábola. Se a<0 a abertura da parábola é voltada para baixo, se a>0 a abertura será voltada para cima.

Intersecção no eixo x

A parábola corta o eixo x nos pontos onde se localizam as raízes da equação.

Intersecção no eixo y

A parábola corta o eixo y nos pontos onde se localizam o coeficiente c.

Ponto máximo e mínimo

Se a>0 existe o valor mínimo representado por y= -/4a .

Se a<0 existe o valor máximo representado por y= -/4a .

Conjunto Imagem

Vejamos como se obtém o conjunto imagem da função quadrática, conforme o sinal de a .

1. a>0

temos y -/4^a Im(f)=y R/y -/4a

b) a<0

temos y -/4a Im(f)=y R/y -/4a

Estudo do sinal

Vamos agora determinar os valores de x, para os quais f(x)= ax²+bx+c é positivo ou negativo

Exemplos de Gráficos

a<0

a<0

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