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    Função Quadrática

    Função Quadrática 

    Funções quadráticas completas e incompletas 

    As equações completas tem forma ax2+bx+c=0.Há também as incompletas que possuem forma ax2+bx=0 ou ax2+c=0.

    Coeficientes

    São os números que acompanham as partes literais de uma função quadrática. Os coeficientes são a, b e c sendo que a letra a sempre acompanha o termo x2, a letra b acompanha o termo x e a letra c não acompanha termos literais. Tais conceitos são utilizados na resolução da função quadrática.

    Concavidade

    Se a>0 a parábola representada no gráfico da função tem sua concavidade voltada para cima.

    Se a<0 a parábola tem sua concavidade invertida, ou seja, voltada para baixo.

    Discriminante : As raízes em relação ao delta ()

    O discriminante da função quadrática é representado por delta sendo que, =b2-4ac.Tal fator é essencial ao cálculo das raízes da função.

    Raízes

    As raízes da função quadrática são os valores de x para os quais se tem f(x)=0.Determinam-se as raízes da função resolvendo-se a função quadrática ax2+bx+c=0. Para que o procedimento seja possível devemos lançar mão da fórmula de Báskara: x = -b/2a onde na maioria das vezes obtemos duas raízes.

    As coordenadas do vértice

    As coordenadas do vértice V de uma função f(x)=ax2+bx+c , a0 são obtidas da seguinte forma no eixo y (ordenada) temos: ax2+bx+c=y ax2+bx+(c-y)=0.

    Existem valores reais de x quando 0, isto é, b2-4ac (c-y) 0

    b2-4ac+4ay0 4ay- y-/4a yv= -/4a .

    No eixo x (abcissa) temos :

    Na função y=ax2+bx+c vamos substituir y=yv= -/4a .

    Temos yv=ax2+bx+c ax2+bx+c= -/4a .

    Temos =b2-4ac =(4ab)2 -4.4a2b2 =16a2b2-16a2b2 então =0 portanto xv=-4ab/8a2=-b/2a xv= -b/2a

    Construção de gráficos

    A função quadrática é representada graficamente em R X R por uma curva denominada parábola. Se a<0 a abertura da parábola é voltada para baixo, se a>0 a abertura será voltada para cima.

    Intersecção no eixo x

    A parábola corta o eixo x nos pontos onde se localizam as raízes da equação.

    Intersecção no eixo y

    A parábola corta o eixo y nos pontos onde se localizam o coeficiente c.

    Ponto máximo e mínimo

    Se a>0 existe o valor mínimo representado por y= -/4a .

    Se a<0 existe o valor máximo representado por y= -/4a .

    Conjunto Imagem

    Vejamos como se obtém o conjunto imagem da função quadrática, conforme o sinal de a .

    1. a>0

    temos y -/4a Im(f)=y R/y -/4a

    b) a<0

    temos y -/4a Im(f)=y R/y -/4a

    Estudo do sinal

    Vamos agora determinar os valores de x, para os quais f(x)= ax2+bx+c é positivo ou negativo

    Exemplos de Gráficos

    a<0

    a<0

     

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