Equações Polinomiais Introdução

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Equações Polinomiais  Introdução

O cálculo de equações polinomiais e algumas equações algébricas era um dos grandes desafios da chamada álgebra clássica. Os primeiros registros e conclusões sobre as relações existentes nas equações de primeiro e segundo graus foram apresentados por Al-Khowarizmi , foi ele quem apresentou em suas obras o significado da palavra álgebra, que é “trocar os membros” no termo de uma equação.

Quase meio milênio depois foram aparecendo inúmeros matemáticos como Girolamo Cardano, Niccolo Tartaglia e Ludovico Ferrari que iniciaram estudos sobre equações de terceiro e quarto graus. Alguns matemáticos se destacaram por grandes demonstrações que ajudaram e são de extrema importância até hoje como Nuls Henrik Abel (Norueguês), Carl Friedrich Gauss (Alemão) e o Francês Evarist Galois. Cada passo realizado  para o aperfeiçoamento  de equações polinomiais de grau n, com n pertencendo ao conjunto dos números naturais, foi e é sempre de muita utilidade. Para encontrarmos o valor numérico de um polinômio p(x), sempre foram utilizados métodos de operações usuais (adição, subtração, multiplicação e divisão) conhecendo ou não uma das raízes da equação polinomial. Na soma e subtração dos polinômios basta adicionarmos  ou subtrairmos os termos de mesmo grau. Na divisão de polinômios podemos observar vários métodos .

Seja     p(x)    e     d(x), não nulos onde o grau de   p(x)   seja maior ou igual ao de   d(x), encontraremos da divisão de    p(x)     por    d(x) os polinômios q(x)  e   r(x) satisfazendo as seguintes condições:

  • P(x) = d(x).q(x) + r(x)
  • R(x) = 0 ou gr(r) menor que gr(d)

p(x) = dividendo

d(x) = divisor

q(x) = quociente

r(x) = resto

Para a divisão ser exata r(x) , deve ser nulo. Outros importantes métodos e teoremas  ajudam a realização da operação com os polinômios como o método da chave, método de Descartes, o teorema do resto, o de D’Alembert e o Algorítimo de Briot-Ruffini que é o método mais rápido da divisão de um polinômio por um binômio.

A Divisão de polinômio é uma das mais importantes ferramentas de calculo já desenvolvidas. Usado muito para o calculo de limites, diminuição de grau da equação ,etc.

A origem e as aplicações das equações polinomiais quanto as suas técnicas de desenvolvimento surgiram sempre pela necessidade de se ter resultados mais precisos em cálculos.

O Teorema fundamental da Álgebra diz que toda equação de grau n, com n maior que 1 ou n igual a 1, possui pelo menos uma raiz complexa, foi concebido através dos estudos referentes a equações polinomiais.

Equações Polinomiais do 2º Grau

Toda função  http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?ZjpcbWF0aGJie1J9XHJpZ2h0YXJyb3dcbWF0aGJie1J9  na forma  http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?Zih4KVxxdWFkPVxxdWFkIGF4XjJccXVhZCtccXVhZCBieFxxdWFkK1xxdWFkIGM= , com  http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?YVxxdWFkXG5vdD1ccXVhZDA=  ( http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?YVxxdWFkXGluXHF1YWRcbWF0aGJie1J9Xio=http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?YlxxdWFkXGluXHF1YWRcbWF0aGJie1J9  e  http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?Y1xxdWFkXGluXHF1YWRcbWF0aGJie1J9 ) é denominada função quadrática, ou função polinomial do 2° grau.

Lembre-se que o polinômio ax2 + bx + c é um polinômio do segundo grau na variável x.

 

Representação Gráfica de uma Função Quadrática

Devido ao fato de o gráfico de uma função polinomial do 2° grau ser uma parábola e não uma reta, como no caso de uma função afim, para montarmos o seu gráfico não nos basta conhecer apenas dois pares ordenados pertencentes à curva da função, no caso da função quadrática precisamos de mais alguns pontos para termos uma boa ideia de como ficará a curva no gráfico.

http://www.matematicadidatica.com.br/images/funcaoQuadratica1.gif

Vamos analisar o gráfico ao lado e a tabela abaixo que contém alguns pontos deste gráfico:

 x  y = -x2 + 10x – 14
2 y = -22 + 10 . 2 – 14 = 2
3 y = -32 + 10 . 3 – 14 = 7
4 y = -42 + 10 . 4 – 14 = 10
5 y = -52 + 10 . 5 – 14 = 11
6 y = -62 + 10 . 6 – 14 = 10
7 y = -72 + 10 . 7 – 14 = 7
8 y = -82 + 10 . 8 – 14 = 2

 

Na tabela temos cada um dos sete pontos destacados no gráfico.

Para traçá-lo primeiro identificamos no plano cartesiano cada um dos pontos sete pontos da tabela e depois fazemos as interligações, traçando linhas curvas de um ponto a outro seguindo a curvatura própria de uma parábola.

Normalmente é mais fácil traçarmos a parábola se a começarmos pelo seu vértice, que neste caso é o ponto (5, 11), visualmente o ponto máximo do gráfico desta parábola.

Ponto de Intersecção da Parábola com o Eixo das Ordenadas

De uma forma geral a parábola sempre intercepta o eixo y no ponto (0, c).

Na função y = -x2 + 10x – 14, vista acima, o coeficiente c é igual a -14, portanto a intersecção da parábola do gráfico da função com o eixo das ordenadas ocorre no ponto (0, -14).

Raiz da Função Quadrática

Observe no gráfico anterior que a parábola da função intercepta o eixo das abscissas em dois pontos. Estes pontos são denominados raiz da função ou zero da função.

Uma função quadrática possui de zero a duas raízes reais distintas.

Sendo  http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eVxxdWFkPVxxdWFkLXheMlxxdWFkK1xxdWFkMTB4XHF1YWQtXHF1YWQxNA==  a função, para encontramos as suas raízes basta igualarmos y a 0 e solucionarmos a equação do segundo grau obtida:

http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxsZWZ0XHtccXF1YWQgeF8xXHF1YWQ9XHF1YWQ1XHF1YWQtXHF1YWRcc3FydHsxMX1cXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxcXHFxdWFkIHhfMlxxdWFkPVxxdWFkNVxxdWFkK1xxdWFkXHNxcnR7MTF9

Estes são os valores de x que levam a y = 0, estes valores são portanto as raízes desta função.

Vértice e Concavidade da Parábola

Podemos observar que no gráfico da função y = -x2 + 10x – 14 o seu vértice é o ponto máximo e que a sua concavidade é parabaixo.

http://www.matematicadidatica.com.br/images/funcaoQuadratica2.gif

Agora vamos observar o gráfico da função y = x2 + 3x + 1:

Como podemos perceber, esta outra parábola é côncava para cima e o seu vértice é o seu ponto mínimo.

Observando apenas a lei de formação das duas funções, qual o seu palpite para esta divergência entre os dois gráficos?

Vamos identificar os coeficientes destas funções.

Para a função y = -x2 + 10x – 14 temos:

http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XGxlZnRceyBhXHF1YWQ9XHF1YWQtMVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIGJccXVhZD1ccXVhZDEwXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgY1xxdWFkPVxxdWFkLTE0

Já para a função y = x2 + 3x + 1 temos:

http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XGxlZnRceyBhXHF1YWQ9XHF1YWQxXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgYlxxdWFkPVxxdWFkM1xcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIGNccXVhZD1ccXVhZDE=

Já tem algum palpite?

Observe que na primeira função o coeficiente a é negativo, ao passo que na segunda função este mesmo coeficiente é positivo.

http://www.matematicadidatica.com.br/images/funcaoQuadratica3.gif

O gráfico da função  http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?Zih4KVxxdWFkPVxxdWFkIGF4XjJccXVhZCtccXVhZCBieFxxdWFkK1xxdWFkIGM=  é côncavo para baixo quando a < 0:

http://www.matematicadidatica.com.br/images/funcaoQuadratica4.gif

Por outro lado quando a > 0 o gráfico da função tem a sua concavidade voltada para cima:
Coordenadas do Vértice da Parábola

abscissa do vértice xv é dada pela fórmula:

http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eF92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7Yn17MmF9

Já ordenada do vértice yv pode ser obtida calculando-se yv = f(xv), ou ainda através da fórmula:

http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eV92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7XERlbHRhfXs0YX0=

Vamos tomar como exemplo novamente a função y = -x2 + 10x – 14 e calcularmos as coordenadas do seu vértice para conferirmos com o ponto indicado na tabela inicial.

Seus coeficientes são:

http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XGxlZnRceyBhXHF1YWQ9XHF1YWQtMVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIGJccXVhZD1ccXVhZDEwXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgY1xxdWFkPVxxdWFkLTE0

Então para a abscissa do vértice xv temos:

http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eF92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7Yn17MmF9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfdlxxdWFkPVxxdWFkLVxmcmFjezEwfXsyXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkLTF9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfdlxxdWFkPVxxdWFkNQ==

ordenada do vértice yv vamos obter pelas duas formas indicadas. Primeiro utilizando a fórmula, mas para isto antes precisamos calcular o discriminante da equação -x2 + 10x – 14 = 0:

Visto que o discriminante é igual a 44, a ordenada do vértice é:

http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eV92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7XERlbHRhfXs0YX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeV92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7NDR9ezRccXVhZFxjZG90XHF1YWQtMX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeV92XHF1YWQ9XHF1YWQxMQ==

Da outra maneira o cálculo seria:

Portanto o vértice da parábola é o ponto (5, 11) como apontado inicialmente pela tabela.

Valor Mínimo ou Máximo da Função Quadrática

Acima aprendemos a identificar pela lei de formação de uma função se a parábola do seu gráfico tem concavidade para cima ou para baixo e também aprendemos como calcular as coordenadas do vértice desta parábola.

Ficamos sabendo também que as funções polinomiais do 2° grau com coeficiente a < 0 possuem um valor máximo, ao ponto que quando o coeficiente a > 0 possuem um valor mínimo.

Com base nestes conhecimentos podemos calcular qual é o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática.

Valor Mínimo e Ponto de Mínimo da Função Quadrática

http://www.matematicadidatica.com.br/images/funcaoQuadratica5.gif

Vamos analisar o gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 5:

Os seus coeficientes são:

http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XGxlZnRceyBhXHF1YWQ9XHF1YWQxXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgYlxxdWFkPVxxdWFkLTRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXCBjXHF1YWQ9XHF1YWQ1

Esta função é côncava para cima, pois o seu coeficiente a > 0.

O ponto (2, 1) é o vértice da parábola.

2 é a abscissa do vértice, isto é xv, assim calculado:

http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eF92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7Yn17MmF9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfdlxxdWFkPVxxdWFkLVxmcmFjey00fXsyXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeF92XHF1YWQ9XHF1YWQy

1 é a ordenada do vértice, ou seja yv, que obtemos iniciando pelo cálculo do discriminante:

http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWRcRGVsdGFccXVhZD1ccXVhZDE2XHF1YWQtXHF1YWQyMFxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkXERlbHRhXHF1YWQ9XHF1YWQtNA==

Conhecendo o discriminante podemos calcular yv:

http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eV92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7XERlbHRhfXs0YX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeV92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7LTR9ezRccXVhZFxjZG90XHF1YWQxfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB5X3ZccXVhZD1ccXVhZDE=

Observe que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai diminuindo até atingir um valor mínimo que é a ordenada do vértice ou f(xv).

Como xv = 2, então f(2) = 1 é o valor mínimo da função f e 2 é o ponto de mínimo da função f.

Para a > 0 o conjunto imagem da função polinomial do 2° grau é:

 

Valor Máximo e Ponto de Máximo da Função Quadrática

http://www.matematicadidatica.com.br/images/funcaoQuadratica6.gif

Vamos analisar agora este outro gráfico da função f(x) = -x2 + 4x + 2:

Os coeficientes da regra de associação desta função são:

http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?XGxlZnRceyBhXHF1YWQ9XHF1YWQtMVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIGJccXVhZD1ccXVhZDRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXCBjXHF1YWQ9XHF1YWQy

Esta função é côncava para baixo já que o seu coeficiente a < 0.

O ponto (2, 6) é o vértice da parábola.

2 é a abscissa do vértice, ou seja xv, que calculamos assim:

http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?eF92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7Yn17MmF9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfdlxxdWFkPVxxdWFkLVxmcmFjezR9ezJccXVhZFxjZG90XHF1YWQtMX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeF92XHF1YWQ9XHF1YWQy

6 é a ordenada do vértice, isto é yv, que agora vamos obter calculando f(xv) diretamente, em vez calcularmos primeiro odiscriminante e a partir dele calcularmos yv, como fizemos no caso do valor mínimo:

Neste caso veja que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai aumentando até atingir um valor máximo que é a ordenada do vértice, que como sabemos é f(xv).

Visto que xv = 2, então f(2) = 6 é o valor máximo da função f e 2 é o ponto de máximo da função f.

Para a < 0 o conjunto imagem da função quadrática é:

http://www.matematicadidatica.com.br/MEx.ashx?SW0oZilccXVhZD1ccXVhZFx7eVxxdWFkXGluXHF1YWRcbWF0aGJie1J9XHF1YWR8XHF1YWQgeVxxdWFkXGxlcVxxdWFkLVxmcmFje1xEZWx0YX17NGF9fQ==

Conclusão

Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio:

http://guiadoestudante.abril.com.br/imagem/mat_n_04.jpg

O conjunto solução da equação é formado pelas raízes de uma equação polinomial. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução.

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“Resolver” uma equação significa calcular suas raízes. Toda equação polinomial, de grau n, (n ³ 1) possui, pelo menos, uma raiz complexa (real ou não).

Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) 

Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.

Referência

http://guiadoestudante.abril.com.br/estudar/matematica/resumo-matematica-equacoes-polinomiais-646792.shtml

http://blogdoenem.com.br/equacao-polinomial-segundo-grau-matematica-enem/

http://www.infoescola.com/matematica/origem-e-importancia-dos-polinomios/

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