Equações diferenciais lineares de ordem N

Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:

f_n(x)y⁽ⁿ⁾ + f_n-1(x) y^(n-1) +…+ f₂(x) y^” + f₁(x)y’ + f₀(x)y = k(x)

onde k(x) e os coeficientes f_i (x) são funções de x.

Classificações

Equação linear homogênea (k(x) = 0),  ou equação linear não-homogênea (k(x) 0).

Equação linear:

de coeficientes constantes (f₀, f₁, f₂, …, f_n constantes)
de coeficientes variáveis (pelo menos um f_i  variável)

Equações diferenciais exatas

Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0

é uma equação diferencial exata se e somente se

Ex: (3x² – 2y³ + 3)dx + (x³ – 6xy² + 2y)dy = 0

P(x,y) = 3x²y – 2y³ + 3  e  Q(x,y) = x³ – 6xy² + 2y

   e  

logo Px = Qx e a equação diferencial é exata.

Teorema

A equação diferencial linear de primeira ordem y’ + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante  .

Ex: 

Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²

Pelo teorema: 

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante: 

   – 3x² y = x²    ou       =   x² dx =     + C

A multiplicação por   dá a solução:

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