Conjuntos

1 – A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 / 1918) e aperfeiçoada no início do século XX por outros matemáticos, entre eles, Ernst Zermelo (alemão – 1871/1956), Adolf Fraenkel (alemão – 1891/ 1965), Kurt Gödel (austríaco – 1906 /1978), Janos von Newman (húngaro – 1903 /1957), entre outros.

O que se estuda deste assunto ao nível do segundo grau e exigido em alguns vestibulares, é tão somente uma introdução elementar à teoria dos conjuntos, base para o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relações, funções, análise combinatória, probabilidades, etc

2 – Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.

Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, … }.

Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, … }.

2.1 – Relação de pertinência:

Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x Î A,
onde o símbolo Î significa “pertence a”.
Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação
y Ï A.

O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por f .
Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U.
Assim é que, pode-se escrever como exemplos:
Æ = { x; x ¹ x} e U = {x; x = x}.

2.2 – Subconjunto

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que
A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.

Notas:
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2^m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado
conjunto das partes de A e é indicado por P(A).
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

3 – Conjuntos numéricos fundamentais

Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:

3.1 – Conjunto dos números naturais

N = {0,1,2,3,4,5,6,… }

3.2 – Conjunto dos números inteiros

Z = {…, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,… }
Nota: é evidente que N Ì Z.

3.3 – Conjunto dos números racionais

Q = {x | x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }. (o símbolo | lê-se como “tal que“).
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero.
Lembre-se que não existe divisão por zero!.
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333… = 1/3,
7 = 7/1, etc.

Notas:
a) é evidente que N Ì Z Ì Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.
Exemplo: 0,4444… = 4/9

3.4 – Conjunto dos números irracionais

Q’ = {x | x é uma dízima não periódica}. (o símbolo | lê-se como “tal que“).
Exemplos de números irracionais:
p = 3,1415926… (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro)
2,01001000100001… (dízima não periódica)
Ö 3 = 1,732050807… (raiz não exata).

3.5 – Conjunto dos números reais

R = { x | x é racional ou x é irracional }.

Notas:
a) é óbvio que N Ì Z Ì Q Ì R
b) Q’ Ì R
c) um número real é racional ou irracional; não existe outra hipótese!

4 – Intervalos numéricos

Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do
intervalo, sendo a diferença p – q , chamada amplitude do intervalo.
Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto.
A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.

Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -¥ ; + ¥ ).

5 – Operações com conjuntos

5.1 – União ( È )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î A ou x Î B}.
Exemplo: {0,1,3} È { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.

Propriedades imediatas:
a) A È A = A
b) A È f = A
c) A È B = B È A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A È U = U , onde U é o conjunto universo.

5.2 – Interseção ( Ç )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; x Î A e x Î B}.
Exemplo: {0,2,4,5} Ç { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.

Propriedades imediatas:
a) A Ç A = A
b) A Ç Æ = Æ
c) A Ç B = B Ç A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A Ç U = A onde U é o conjunto universo.

São importantes também as seguintes propriedades :
P1. A Ç ( B È C ) = (A Ç B) È ( A Ç C) (propriedade distributiva)
P2. A È ( B Ç C ) = (A È B ) Ç ( A È C) (propriedade distributiva)
P3. A Ç (A È B) = A (lei da absorção)
P4. A È (A Ç B) = A (lei da absorção)
Observação: Se A Ç B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.

5.3 – Diferença: A – B = {x ; x Î A e x Ï B}.
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos:
{ 0,5,7} – {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} – {1,2,3} = {4,5}.

Propriedades imediatas:
a) A – f = A
b) f – A = f
c) A – A = Æ
d) A – B ¹ B – A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).

5.3.1 – Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A – B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .
Simbologia: C_AB = A – B.
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U – B ,é indicado pelo símbolo B’ .Observe que o conjunto B’ é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:
B’ = {x; x Ï B}. É óbvio, então, que:

a) B Ç B’ = f
b) B È B’ = U
c) f’ = U
d) U’ = f

6 – Partição de um conjunto
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
1 – nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
2 – a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
3 – a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.

Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.

Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B)

8 – Exercícios resolvidos:

1) USP-SP – Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
b) quando chove de manhã não chove à tarde;
c) houve 5 tardes sem chuva;
d) houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
a)7
b)8
*c)9
d)10
e)11
Veja a solução AQUI.

2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era:
I – O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
II – O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
III – A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:
*a)48
b)35
c)36
d)47
e)37
Para ver a solução clique AQUI

3) UFBA – 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:
*a) 29
b) 24
c) 11
d) 8
e) 5
Clique AQUI para ver a solução.

4) FEI/SP – Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:
a)século XIX
b)século XX
c)antes de 1860
d)depois de 1830
e)nenhuma das anteriores

Pode-se garantir que a resposta correta é:
a)a
b)b
*c)c
d)d
e)e
Clique AQUI para ver a solução.

9 – Exercícios propostos

1 – Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 9
*e)10

2 – Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma ?
*a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 0

3) PUC-SP – Se A = Æ e B = {Æ }, então:
*a) A Î B
b) A È B = Æ
c) A = B
d) A Ç B = B
e) B Ì A

4) FGV-SP – Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A Ç B é 30, o número de elementos de A Ç C é 20 e o número de elementos de A Ç B Ç C é 15.
Então o número de elementos de A Ç (B È C) é igual a:
*a)35
b)15
c)50
d)45
e)20

5) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto
A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são:
*a)2 ou 5
b)3 ou 6
c)1 ou 5
d)2 ou 6
e)4 ou 5

1 – A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 / 1918) e aperfeiçoada no início do século XX por outros matemáticos, entre eles, Er

1 – A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 / 1918) e aperfeiçoada no início do século XX por outros matemáticos, entre eles, Ernst Zermelo (alemão – 1871/1956), Adolf Fraenkel (alemão – 1891/ 1965), Kurt Gödel (austríaco – 1906 /1978), Janos von Newman (húngaro – 1903 /1957), entre outros.

O que se estuda deste assunto ao nível do segundo grau e exigido em alguns vestibulares, é tão somente uma introdução elementar à teoria dos conjuntos, base para o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relações, funções, análise combinatória, probabilidades, etc

2 – Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.

Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, … }.

Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, … }.

2.1 – Relação de pertinência:

Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x Î A,
onde o símbolo Î significa “pertence a”.
Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação
y Ï A.

O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por f .
Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U.
Assim é que, pode-se escrever como exemplos:
Æ = { x; x ¹ x} e U = {x; x = x}.

2.2 – Subconjunto

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que
A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.

Notas:
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2^m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado
conjunto das partes de A e é indicado por P(A).
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

3 – Conjuntos numéricos fundamentais

Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:

3.1 – Conjunto dos números naturais

N = {0,1,2,3,4,5,6,… }

3.2 – Conjunto dos números inteiros

Z = {…, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,… }
Nota: é evidente que N Ì Z.

3.3 – Conjunto dos números racionais

Q = {x | x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }. (o símbolo | lê-se como “tal que“).
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero.
Lembre-se que não existe divisão por zero!.
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333… = 1/3,
7 = 7/1, etc.

Notas:
a) é evidente que N Ì Z Ì Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.
Exemplo: 0,4444… = 4/9

3.4 – Conjunto dos números irracionais

Q’ = {x | x é uma dízima não periódica}. (o símbolo | lê-se como “tal que“).
Exemplos de números irracionais:
p = 3,1415926… (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro)
2,01001000100001… (dízima não periódica)
Ö 3 = 1,732050807… (raiz não exata).

3.5 – Conjunto dos números reais

R = { x | x é racional ou x é irracional }.

Notas:
a) é óbvio que N Ì Z Ì Q Ì R
b) Q’ Ì R
c) um número real é racional ou irracional; não existe outra hipótese!

4 – Intervalos numéricos

Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do
intervalo, sendo a diferença p – q , chamada amplitude do intervalo.
Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto.
A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.

Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -¥ ; + ¥ ).

5 – Operações com conjuntos

5.1 – União ( È )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î A ou x Î B}.
Exemplo: {0,1,3} È { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.

Propriedades imediatas:
a) A È A = A
b) A È f = A
c) A È B = B È A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A È U = U , onde U é o conjunto universo.

5.2 – Interseção ( Ç )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; x Î A e x Î B}.
Exemplo: {0,2,4,5} Ç { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.

Propriedades imediatas:
a) A Ç A = A
b) A Ç Æ = Æ
c) A Ç B = B Ç A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A Ç U = A onde U é o conjunto universo.

São importantes também as seguintes propriedades :
P1. A Ç ( B È C ) = (A Ç B) È ( A Ç C) (propriedade distributiva)
P2. A È ( B Ç C ) = (A È B ) Ç ( A È C) (propriedade distributiva)
P3. A Ç (A È B) = A (lei da absorção)
P4. A È (A Ç B) = A (lei da absorção)
Observação: Se A Ç B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.

5.3 – Diferença: A – B = {x ; x Î A e x Ï B}.
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos:
{ 0,5,7} – {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} – {1,2,3} = {4,5}.

Propriedades imediatas:
a) A – f = A
b) f – A = f
c) A – A = Æ
d) A – B ¹ B – A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).

5.3.1 – Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A – B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .
Simbologia: C_AB = A – B.
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U – B ,é indicado pelo símbolo B’ .Observe que o conjunto B’ é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:
B’ = {x; x Ï B}. É óbvio, então, que:

a) B Ç B’ = f
b) B È B’ = U
c) f’ = U
d) U’ = f

6 – Partição de um conjunto
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
1 – nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
2 – a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
3 – a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.

Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.

Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B)

8 – Exercícios resolvidos:

1) USP-SP – Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
b) quando chove de manhã não chove à tarde;
c) houve 5 tardes sem chuva;
d) houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
a)7
b)8
*c)9
d)10
e)11
Veja a solução AQUI.

2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era:
I – O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
II – O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
III – A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:
*a)48
b)35
c)36
d)47
e)37
Para ver a solução clique AQUI

3) UFBA – 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:
*a) 29
b) 24
c) 11
d) 8
e) 5
Clique AQUI para ver a solução.

4) FEI/SP – Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:
a)século XIX
b)século XX
c)antes de 1860
d)depois de 1830
e)nenhuma das anteriores

Pode-se garantir que a resposta correta é:
a)a
b)b
*c)c
d)d
e)e
Clique AQUI para ver a solução.

9 – Exercícios propostos

1 – Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 9
*e)10

2 – Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma ?
*a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 0

3) PUC-SP – Se A = Æ e B = {Æ }, então:
*a) A Î B
b) A È B = Æ
c) A = B
d) A Ç B = B
e) B Ì A

4) FGV-SP – Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A Ç B é 30, o número de elementos de A Ç C é 20 e o número de elementos de A Ç B Ç C é 15.
Então o número de elementos de A Ç (B È C) é igual a:
*a)35
b)15
c)50
d)45
e)20

5) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto
A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são:
*a)2 ou 5
b)3 ou 6
c)1 ou 5
d)2 ou 6
e)4 ou 5

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