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    Binômio de Newton

     

    Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)n , sendo n um número natural .

    Exemplo:
    B = (3x – 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).

    Nota 1:
    Isaac Newton – físico e matemático inglês(1642 – 1727).
    Suas contribuições à Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia Mathematica, escrita em 1687.

    Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :
    a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
    b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
    c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
    d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

    Nota 2:
    Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:

    Vamos tomar por exemplo, o item (d) acima:
    Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5.
    A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:

    Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos:
    5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.

    Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de bcresceu  de 1 para 2).

    Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)7 será:
    (a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7

    Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a2b5?

    Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5.
    Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.

    Observações:
    1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.
    2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .
    3) os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos , no desenvolvimento de
    (a + b)n são iguais .
    4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .

    Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton

    Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n , sendo p um número natural, é dado por

    https://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/binomio_01.gif
    onde

    https://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/binomio_02.gif

    é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p.
    Este número é também conhecido como Número Combinatório.

    Exercícios Resolvidos:

    1 – Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9 , desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.

    Solução:

    Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:
    T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9-6 . (1)6 = 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 = 672x3. Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.

    2 – Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?

    Solução:

    Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5 . Para isto, basta fazer
    p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes.
    Teremos:
    T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4 . (3y)4
    = 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4.81y4

    Fazendo as contas vem:
    T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio procurado.

    3 – Desenvolvendo o binômio (2x – 3y)3n , obtemos um polinômio de 16 termos .
    Qual o valor de n?

    Solução:

    Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15.
    Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5.

    4 – Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de :

    a) (2x – 3y)12 ?                 Resp: 1
    b) (x – y)50 ?                 Resp: 0

    Solução:

    a) basta fazer x=1 e y=1. Logo, a soma S procurada será: S = (2.1 -3.1)12 = (-1)12 = 1
    b) analogamente, fazendo x = 1 e y = 1, vem: S = (1 – 1)50 = 050 = 0.

    5 – Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )6 .

    Solução:

    Sabemos que o termo independente de x  é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x.
    Temos no problema dado: a = x , b = 1/x e n = 6.

    Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:

    Tp+1 = C6,p . x6-p . (1/x)p = C6,p . x6-p . x-p = C6,p . x6-2p .
    Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x0 = 1. Logo, fazendo 6 – 2p = 0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:
    T3+1 = T4 = C6,3 . x0 = C6,3 = 6! /[(6-3)! . 3! ] = 6.5.4.3! / 3!.3.2.1 = 20.
    Logo, o termo independente de x é o T4 (quarto termo) que é igual a 20.

    Exercícios propostos

    1) Qual é o termo em x5 no desenvolvimento de (x + 3)8 ?

    2) Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x – 3y)7 .

    3) Qual é o valor do produto dos coeficientes do 2o. e do penúltimo termo do desenvolvimento de (x – 1)80 ?

    4) FGV-SP – Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x – 1/x)]6 , obtém-se como termo independente de x o valor:
    a) 10
    b) -10
    c) 20
    d) -20
    e) 36
    Clique AQUI para ver a solução.

    5) UF. VIÇOSA – A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é:
    a) 5
    b) 6
    c)10
    d) 3
    e) 4

    6) MACK-SP – Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x2 + 1/(2x))n estão em progressão aritmética.O valor de n é:
    a) 4
    b) 6
    c) 8
    d) 10
    e) 12

    7) No desenvolvimento de (3x + 13)n há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos
    é igual a:
    Resp: 248

    8 – UFBA-92 – Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (a + b)m é igual a 256, calcule (m/2)!
    Resp: 24

    9 – UFBA-88 – Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x2 + 1/x)9.
    Resp: O termo independente de x é o sétimo e é igual a 84.

    10 – Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (3x – 1)10.
    Resp: 1024

    Respostas:
    1) T4 = 1512.x5
    2) – 128
    3) 6400
    4) D
    5) E
    6) 8
    7) 248
    8) 24
    9) 84
    10) 1024

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